25. 深度学习进阶 - 权重初始化,梯度消失和梯度爆炸

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Hi,你好。我是茶桁。

咱们这节课会讲到权重初始化、梯度消失和梯度爆炸。咱们先来看看权重初始化的内容。

权重初始化

机器学习在我们使用的过程中的初始值非常的重要。就比如最简单的wx+b,现在要拟合成一个yhat,w如果初始的过大或者初始的过小其实都会比较有影响。

假设举个极端情况,就是w拟合的时候刚刚就拟合到了离x很近的地方,我们想象一下,这个时候是不是学习起来就会很快?所以对于深度学习模型权重的初始化是一个非常重要的事情,甚至有人就说把初始化做好了,其实绝大部分事情就已经解决了。

那么我们怎么样获得一个比较好的初始化的值?首先有这么几个原则

  • 我们的权重值不能设置为0。
  • 尽量将权重变成一个随机化的正态分布。而且有更大的X输入,那我们的权重就应该更小。

\[ \begin{align*} loss & = \sum(\hat y - y_i)^2 \\ & = \sum(\sum w_ix_i - y_i)^2 \end{align*} \]

我们看上面的式子,yhat就是w_i*x_i, 这个时候x_i可能是几百万,也可能是几百。我们w_i取值在(-n, n)之间,那当x_i维度特别大的时候,那yhat值算出来的也就会特别大。所以,x_i的维度特别大的时候,我们期望w_i值稍微小一些,否则加出来的yhat可能就会特别大,那最后求出来的loss也会特别大。

如果loss值特别大,可能就会得到一个非常的梯度。那我们知道,学习的梯度特别大的话,就会发生比较大的震荡。

所以有一个原则,就是当x的dimension很大的时候, 我们期望的它的权重越小。

那后来就有人提出来了一个比较重要的初始化方法,Xavier初始化。这个方法特别适用于sigmoid激活函数或反正切tanh激活函数,它会根据前一层和当前层的神经元数量来选择初始化的范围,以确保权重不会过大或过小。 \[ \begin{align*} 均值为0和标准差的正态分布: \sigma & = \sqrt{\frac{2}{n_{inputs}+n_{outputs}}} \\ -r和+r之间的均匀分布:r & = \sqrt{\frac{6}{n_{inputs}+n_{outputs}}} \end{align*} \]

然后W的均匀分布就会是这样: \[ W \sim U \Bigg \vert -\frac{\sqrt 6}{\sqrt{n_j + n_{j+1}}}, \frac{\sqrt 6}{\sqrt{n_j + n_{j+1}}} \]

这个是一个比较有名的初始化方法,如果要做函数的初始化的话,PyTorch在init里面有一个方法:

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torch.nn.init.xavier_uniform_(tensor, gain=1.0)

比如,我们看这样例子:

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w = torch.empty(3, 5)
nn.init.xavier_uniform_(w, gain=nn.calculate_gain('relu'))

注意: init方法里还有其他的一些方法,大家可以查阅PyTorch的相关文档:https://pytorch.org/docs/stable/nn.init.html

梯度消失与梯度爆炸

当我们的模型层数特别多的时候

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就比如我们上节课用到的Sequential,我们可以在里面写如非常多的一个函数:

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model = nn.Sequential(
nn.Linear(in_features=10, out_features=5).double(),
nn.Sigmoid(),
nn.Linear(in_features=5, out_features=8).double(),
nn.Sigmoid(),
nn.Linear(in_features=8, out_features=8).double(),
nn.Sigmoid(),
...
nn.Linear(in_features=8, out_features=8).double(),
nn.Softmax(),
)

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这样,在做偏导的时候我们其中几个值特别小,那两个一乘就会乘出来一个特别特别小的数字。最后可能会导致一个结果,\(\frac{\partial loss}{\partial wi}\)的值就会极小,它的更新就会特别的慢。我们把这种东西就叫做梯度消失,也有人叫梯度弥散。

以Sigmoid函数为例,其导数为

\[ \begin{align*} \sigma '(x) = \sigma(x)(1-\sigma(x)) \end{align*} \]

在x趋近正无穷或者负无穷时,导数接近0。当这种小梯度在多层网络中相乘的时候,梯度会迅速减小,导致梯度消失。

除此之外还有一种情况叫梯度爆炸,剃度爆炸类似,当模型的层很多的时候,如果其中某两个值很大,例如两个102,当这两个乘起来就会变成104。乘下来整个loss很大,又会产生一个结果,我们来看这样一个场景:

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假如说对于上图中这个函数来说,横轴为x, 竖轴为loss,对于这个xi来说,这个地方\(\frac{\partial loss}{\partial xi}\)已经是一个特别大的数字了。

假设咱们举个极端的情况(忽略图中竖轴上的数字),我们现在loss等于x^4:\(loss=x^4\),然后现在\(\frac{\partial loss}{\partial x^4}\)就等于\(4x^3\),我们假设x在A点,当x=10的时候,那\(4\times x^3 = 4000\), 那我们计算新的xi,就是\(x_i = x_i - \alpha \cdot \frac{\partial loss}{\partial x_i}\),现在给alpha一个比较小的数,我们假设是0.1,那式子就变成\(10 - 0.1 \times 4000\),结果就是-390。

我们把它变到-390之后,本来我们本来做梯度下降更新完,xi期望的是loss要下降,但是我们结合图像来看,xi=-390的时候,loss就变得极其的巨大了,然后我们在继续,(-390)^4, 这个loss就已经爆炸了。

再继续的时候,会发现会在极值上跳来跳去,loss就无法进行收敛了。所以我们也要拒绝这种情况的发生。

那梯度消失和梯度爆炸这两个问题该如何解决呢?我们来看第一种解决方法: Batch normalization,批量归一化。

那这个方法的核心思想是对神经网络的每一层的输入进行归一化,使其具有零均值和单位方差。

那么首先,对于每个mini-batch中的输入数据,计算均值和方差。\(B = \{x_1...m\}\); 要学习的参数: \(\gamma,\beta\)

\[ \begin{align*} \mu_B & = \frac{1}{m}\sum^m_{i=1}x_i \\ \sigma ^2_B & = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(x_i-\mu_B)^2 \\ & \mu 为均值mean, \sigma为方差 \end{align*} \]

这里和咱们之前讲x做normalization的时候其实是特别相似,基本上就是一件事。

然后我们使用均值和方差对输入进行归一化,使得其零均值和单位方差,即将输入标准化为xhat。

\[ \begin{align*} \hat x_i = \frac{x_i - \mu_B}{\sqrt{\sigma ^2_B + \varepsilon}} \end{align*} \]

接着我们对归一化后的输入应用缩放和平移操作,以允许网络学习最佳的变换。

\[ \begin{align*} y_i = \gamma \hat x_i + \beta \equiv BN_{\gamma,\beta}(x_i) \end{align*} \]

输出为\(\{y_i = BN_{\gamma,\beta}(x_i)\}\)

最后将缩放和平移后的数据传递给激活函数进行非线性变换。

它会输入一个小批量的x值,

经过反复的梯度下降,会得到一个gamma和beta,能够知道在这一步x要怎么样进行缩放,在缩放之前会经历刚开始的时候那个normalization一样,把把过小值会变大,把过大值会变小。

我们在之前的课程中演示过,没看过和忘掉的同学可以往前翻看一下。

然后在经过这两个可学习的参数进行一个变化,这样它可以做到在每一层x变化不会极度的增大或者极度的缩小,可以让我们的权值保持的比较稳定。

那除了Batch normalization之外,还有一个方法叫Gradient clipping, 它是可以直接将过大的梯度值变小。

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它其实很简单,也叫做梯度减脂。

如果我们求解出来\(\frac{\partial loss}{\partial w_i}\)很大,假设原来等于400,我们定义了一个100,那超过100的部分,就全部设置成100。

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train_loss.backward()
pt.nn.units.clip_grad_value_(model.parameters(), 100)
optimizer.step()

简单粗暴。那其实梯度爆炸还是比较容易解决的,比较复杂的其实是梯度消失的问题。

梯度爆炸为什么比较容易解决?梯度爆炸起码是有导数的,只要把这个导数给它放的特别小就行了,有导数起码保证wi可以更新。

假设alpha,我们的learning_rate等于0.01,乘上一个100,可以保证每次可以有个变化。但是每次这个梯度特别小,假如都快接近于0了,那么1e-10, 就算乘上100倍,最后还是一个特别小的数字。所以相较而言,梯度爆炸就更好解决一些,方法更粗暴一些。

补充一个知识点,这个虽然现在已经用不到了,但是对我们的理解还是有帮助的。方法比较古老。

就是当我们发现梯度有问题的时候, 大概在10年前,那个时候神经网络的模块也不太丰富,很多新出的model,做神经网络的人,一些导数,传播什么的都需要自己写,就我们前几节课写那个神经网络框架的时候做的事。

有的时候导数写错了,就有一种方法叫做gradient checking,梯度检查。

这个使用场景非常的少,当你自己发明了一个新的模块,加到这个模型里面的时候会遇到。

其实很简单,就是把最终的\(\frac{\partial loss}{\partial w_i}\),求解出来的偏导总是不收敛,可能是这个偏导有问题,那么有可能求导的函数写错了。

那在这个时候就可以做个简单的变化:

\[ \begin{align*} \frac{\partial loss(\theta+\varepsilon)-\partial loss(\theta - \varepsilon)}{2\varepsilon} \end{align*} \]

这其中\(\partial loss(\theta + \varepsilon)\)\(\partial loss(\theta - \varepsilon)\)是在参数\(\theta\), 其实也就是我们的wi上添加和减去微小扰动theta后的损失函数值。

然后我们计算数值梯度和反向传播计算得到的梯度之间的差异。通常这是通过计算它们之间的差异来完成,然后将其与一个小的阈值,比如1e-7进行比较。如果差异非常小(小于阈值),则可以认为梯度计算是正确的,否则可能就需要从新写一下偏导函数了。

这个比较难,但不是一个重点,当且仅当自己要发明一个模型的时候。

那接下来我们来看一下关于Learning_rate和Early Stopping的问题。

理论上,如果深度学习效果不好,那么我们可以将learning rate调小,可以让所有模型效果变得更好,它可以让所有的loss下降。

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但是如果你的learning rate变得特别小,假如说是1e-9,那这样的结果就是w的变化会非常的慢,训练时间就变得很长。为了解决这个问题,就有一些比较简单的方法。

第一个,我们可以把learning rate和loss设置成一个相关的函数,例如说loss越小的时候,Learning rate越小,或者随着epoch的增大,loss越小。这个就叫learning rate的decay。

将learning rate或者训练次数和loss设置成一个相关的函数,那么越到后面效果越好的时候,learning rate就会越小。

还有,我们可能会发现loss连续k次不下降,那我们就可以提前结束训练过程,这个就是Early Stopping。

也就是当你发现loss连续k次不下降,或者甚至于在上升,那么这个时候,就可以将最优的这个值给它记录下来。

咱们可能会经常出现的情况就是值在那里震荡,本来呢已经快接近于最优点了,可是震荡了几次之后,还可能震荡出去了,loss变大了。或者就一直在这个震荡里边出不去,这个时候多学习也没有用,所以就可以早点停止,这个就是Early Stopping,中文有人称呼它为早停方法。

好,下节课,咱们要讲一个重点,也是一个难点。就是咱们做机器学习的时候,不同的优化方法。

25. 深度学习进阶 - 权重初始化,梯度消失和梯度爆炸

https://hivan.me/25. 深度学习进阶 - 权重初始化,梯度消失和梯度爆炸/

作者

Hivan Du

发布于

2023-11-29

更新于

2023-11-29

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