29. 深度学习进阶 - 卷积的原理

Hi,你好。我是茶桁。

在结束了 RNN 的学习之后，咱们今天开始来介绍一下 CNN。

CNN 是现代的机器深度学习一个很核心的内容，就假如说咱们做图像分类、图像分割，图像的切分等等。

其实这些过程就是你让计算机能够自动识别，不仅能够识别图像里有什么，还能识别图像里这些东西分别是在什么地方。这种复杂操作其实都是基于啊 CNN 的变体。要给计算机有识别图像的能力。

再比方说大无人驾驶汽车，它要识别行人在哪里。

再比如安防的摄像头，要能够检测出来我们人在哪里。

这些事情背后都是计算机视觉的问题。

大概一九五几年、六几年的时候，哈佛大学曾经做过一个研究，给猫的大脑上装了一些电极，让这个猫去看前面的一个幻灯片，然后通过切换幻灯片的内容，然后观察猫的大脑哪些地方活跃。

就发现两个特点，第一个它有一种一层一层的特性，比方说我换了颜色，它固定的就这几层会活跃，离眼睛远的地方会活跃。如果换了线条，颜色没变，会是另外的一层区域会活跃，不同层其实对于不同的特定变化是不一样的。

第二个发现，越靠近眼睛的地方，越低级的层次的变化会越明显，比如线条颜色。眼睛越远的距离，线条和颜色没变，但是眼睛变大了或者变小了，那么这些地方它会更明显。

也就是说，第一个它是有分层的，第二个，它不同的这个层的抽象性是不一样的，对于什么东西的感受力是不一样的。

沿着这个思路，人们当时就提出来了一些方法。当时人们做计算机视觉，主流不是机器学习。但是人们提出来一个一个这样的 filter：

filter = np.array([
    [1, 0, -1],
    [1, 0, -1],
    [1, 0, -1]
])

这样的 filter 是人刻意的，主观的提出来的。他们把这个 filter 去应用到一个一个的图像上。

比方说我们的图像是a b c d e f g h i j k l，然后按 4*4 的矩阵相乘，再加起来，比如\(aw+bx+ey+fz\)，这样就得到了一个新的内容。大家把这个操作就叫做卷积操作。

看个示例：

import numpy as np
image = np.array([
    [10, 10, 10, -3, -3, -3],
    [10, 10, 10, -3, -3, -3],
    [10, 10, 10, -3, -3, -3],
    [10, 10, 10, -3, -3, -3],
    [10, 10, 10, -3, -3, -3],
    [10, 10, 10, -3, -3, -3],
])
plt.imshow(image)
plt.show()

我们可以看到，这个矩阵的前三列全是 10，后两列都是 0，最后生成的图像有一个明显的分界，伴随着两个不同的颜色。

我们现在给这个图像矩阵加上一个 filter, 然后按上面的方法进行操作：

那左上角的 3*3 的小矩阵的运算结果就是 0。

那同理，我们以此往后算，第二个结果是 39, 第三个结果是 39.... 大家后面可以自行计算一下，最后的计算结果就是：

[[0, 39, 39, 0],
[0, 39, 39, 0],
[0, 39, 39, 0]]

我们可以看出来，当分割的小矩阵内数据相同的时候，值为 0，如果说矩阵内的这个部分图像差距不是很大，那它也是近乎接近于 0，意味着差别很小。如果说分割的这个小矩阵左右两边是相反数的时候，两边的差别是最大的，不管最后相加的值是正的还是负的，绝对值下应该是最大的。这个地方其实是图像竖着的边缘。

那如果我们将 filter 改一下，改成下面这样：

[[1, 1, 1],
[0, 0, 0],
[-1, -1, -1]]

如果是这样，计算的结果就是图像横向的边缘的绝对值最大。

基于这种原理，我们就可以找到图像所有竖向和横向的边沿，给它拿出来。

这整个的一个过程，就叫做卷积: convolution。convolution 就是两个东西之间互相起作用。最早是出现在信号处理上，两个信号把它做一个合并。

卷积的操作是为了干什么呢？卷积的操作是用来提取图片的某种特征，抓取图片特征。在上个世纪后期，计算机视觉的老科学家们提出了大量的 kernel，当时叫做算子，现在叫做卷积核。

卷积的操作就是给定一个图片，然后给定一个卷积核，和卷积核一样大小的窗口里边的每个值相乘，相乘之后再做相加。

假如咱们有一张图片，一般来说，咱们现实生活中图片往往是三维，通常是红绿蓝(RGB)，然后我们让这张图片和这个 filter 去做相乘的操作。

这三个层里面每一层都会和 filter 做一个相乘的操作，咱们就假设这三个层分别为:

[[a11, a12, a13],[a21, a22, a23],[a31, a32, a33]],
[[b11, b12, b13],[b21, b22, b23],[b31, b32, b33]]
[[c11, c12, c13],[c21, c22, c23],[c31, c32, c33]]

然后再假设 filter 为：

[[f11, f12, f13], [f21, f22, f23], [f31, f32, f33]]

那这个 filter 会分别和这三个层进行卷积操作，产生的卷积结果为 v1, v2, v3, 然后这三个结果再进行相加，最后会产生一个新的层。

我们来看一下下面这张图：

这张图显示的是一层的情况，一个 filter 大小的矩阵被卷积成了一个点，然后这个操作不只是针对一层的，而是对整个一个纵向体积内的所有层都做这样一个操作：

途中最底下是我们的图片的 RGB 分层，再经过和 filter 相乘之后向上会卷积成一个点，那向上之后的 Map1, Map2,... 原因是每一层都是一个不同的 filter 计算的结果，这里存在很多个 filter， 然后分别计算产生了这样一个叠加层。

再做下一次运算的时候也是一样，这些 Map 的纵向上经过和 filter 运算依然会被卷积成一个点。

就着上面那个简单的图形，咱们来做个演示：

def conv(image, filter):
    h = filter.shape[0]
    w = filter.shape[1]

    for i in range(image.shape[0]):
        for j in range(image.shape[1]):
            window = image[i: i+h, j: j+w]
            print(window)
filter = np.array([
    [1, 0, -1],
    [1, 0, -1],
    [1, 0, -1]
])

conv(image, filter)

---
[[10 10 10]
 [10 10 10]
 [10 10 10]]
...
[[-3]
 [-3]
 [-3]]
...
[[10 -3 -3]]
[[-3 -3 -3]]
[[-3 -3]]
[[-3]]

输入一个图片的数据, 拿到 filter 的高宽，然后让 filter 沿着图片从上到下，从左到右移动。

我们打印结果能看到，运行到中间的时候会出现一串的[[-3], [-3], [-3]]。因为 i 会一直运行边上，那么如果要做卷积的话，大小要和 filter 一直一样，所以咱们在这里需要给他减去一个 filter。就是不要运行后边这几个。

...
    for i in range(image.shape[0] - h+1):
        for j in range(image.shape[1] - w+1):
            ...

这样就可以了。

我们每一次其实就是从左到右，从上到下裁剪出来一个一个的 window。

我们让这个 window 和 filter 相乘后再相加，我们可以得到什么结果？

for i ...:
    for j ...
        ...
        result = np.sum(filter * window)
        print(result)

---
0
39
...
39
0

就是计算卷积的结果。

那我们可以将其改成矩阵的形式, 然后咱们打印出来看看是个啥：

def conv(image, filter):
    r_height = image.shape[0] - h+1
    r_width = image.shape[1] - w+1
    result = np.zeros(shape=(r_height, r_width))
    for i ...:
        for j ...:
            result[i][j] = np.sum(filter * window)
    return result

result = conv(image, filter)
plt.imshow(result)
plt.show()
---
array([[ 0., 39., 39.,  0.],
       [ 0., 39., 39.,  0.],
       [ 0., 39., 39.,  0.],
       [ 0., 39., 39.,  0.]])

那变成这样的原因是因为原来的图像中间有一个边缘，现在这张图显示的是图片边缘的部分被高亮。

这样一张图片可能并不太能理解，我拿我的头像来做这个示例好了：

myself = Image.open('./assets/chaheng.jpg').convert('L')
...
plt.imshow(result, cmap='gray')

为了更明显一点，我将图像改成灰度显示。

我们可以看到卷积之后的效果，明显边缘都被显示出来了。但是我们也注意到了，竖向的边缘都很明显，但是横向的边缘并不清楚。我们再来对横向进行一下卷积, 我们先要增加一个处理多个 filter 的方法，将原来的 conv 方法改为 single_conv， 表示处理单个：

def single_conv(...):
    ...

def conv(image, filters):
    results = [single_conv(image, f) for f in filters]
    return results

然后我们的调用需要改一下传递的参数：

results = conv(image, [h_filter, w_filter])

既然要传递两个 filter, 那我们就需要再定义一个横向的 filter，然后一起传进去：

# 原来的 filter
h_filter = np.array([...])

# 新定义的横向 filter
w_filter = np.array([
    [1, 1, 1],
    [0, 0, 0],
    [-1, -1, -1]
])

接着我们将原图，竖向的卷积结果和横向的卷积结果都打印出来：

plt.subplot(1, 3, 1)
plt.imshow(image)
plt.subplot(1, 3, 2)
plt.imshow(results[0])
plt.subplot(1, 3, 3)
plt.imshow(results[1])

plt.show()

原图变成这个颜色的原因是我在 PIL 读取图像的时候，将其转为了灰度。我们可以看到第二张图片和第三张图明显在边缘上的区别，一个像是灯光从左边打过来的，一个像是灯光从上面打下来的。

中间和右边这个，其实都是把边缘提出来了。因为卷积核的不同，中间这个图把竖着的边缘明显提取的比较准确，右边的把横向的提取的比较准确。

这也是为什么我们之前看得那张图里会有那么多的 Map:

它的每一层都是一个不同的 filter 提取出来的，有这么多 filter 的原因则是每一个 filter 提取出来的特征都是不一样的。

我们来看我们刚才定义的方法：

def single(image, filter):
    ...

我们把输入卷积的时候的 image 这个参数叫做input channel。那在此时此刻，我们这个图像如果是 RGB 的，它就是三维的，那么input channel就等于 3。

filters的个数，就叫做output channel。原因就在于，有多少个filter，那我们的 results 就有多厚。比如说我们有 4 个filter, 那输出的 result 就有四层。 然后可以接着对 results 继续应用filter做卷积，那在这一轮的input channel就等于一次的output channel, 也就是 4。

这个，就是卷积的原理。

好，这节课就到这里了，下节课咱们继续学习卷积，来看看在神经网络里如何应用。